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43 Wir rechnen ein Beispiel, der Einfachheit halber im Ring Z. Sei a = 633 , b = 270 . Der EA besteht hier aus fu¨nf Divisionen 633 270 93 84 9 = = = = = 2 · 270 + 93 2 · 93 + 84 1 · 84 + 9 9·9+3 3·3+0 Also ist ggT(633, 270) = 3. Im n¨achsten Kapitel behandeln wir den erweiterten Euklidischen Algorithmus, dort rechnen wir ein Beispiel mit Polynomen. ¨ Ubungen 1) In Z sei a = 1980, b = 64974. Berechne den ggT(a, b) und das kgV(a, b) a) mit einer Primfaktorzerlegung. b) mit dem Euklidischen Algorithmus.

Dann gilt f¨ur i ∈ Z : a) ai = ar , r = ρn (i) ∈ Zn b) ai = 1 ⇔ i ∈ nZ Beweis: a) Wir teilen a durch i und erhalten i = f ·n+r , r = ρn (i) . 1) folgt ai = af ·n+r = (an )f ar = ar . b) Sei ai = 1 , dann ist ar = 1 und die Minimalit¨at von n = o(a) ergibt r = 1 . Ist umgekehrt i = n · j ∈ nZ, so folgt ai = an·j = (an )j = 1 . 7 SATZ: Sei a ∈ G und n =o(a) . Dann ist n die Ordnung der Untergruppe a , n = | a | . a ist a ⊆ {aj | j ∈ Zn } . Seien i ≤ j aus Zn mit ai = aj . Dann ist 1 = (aj )(ai )−1 = aj−i .

Die Bestimmung dieser Polynome P, Q ist fu¨r das Funktionieren eines ReedSolomon Codes wichtig. Dies erkl¨aren wir im letzten Kapitel. 8. Wir setzen daher im Folgenden grad A < n , n = grad N voraus. Der EA bestimmt G : = ggT(N, A) . Wir ku¨mmern uns wie schon in Kap. 3 nicht um die Normierung von G, jedes skalare Vielfache = 0 von G bezeichnen wir ebenfalls mit G; analog verfahren wir mit dem kgV(A, N ). Es ist zweckm¨aßig, die Divisionen des EA durchzunummerieren, wir bezeichnen sie mit D1 , .

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