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By H. A. Schwarz

Entgegengekommen. Die diesem Bande beigegebenen vier lithographi schen Figurentafeln verpflichten mich zu besonderem Danke. Bei der Correctur der einzelnen Druckbogen dieses Bandes bin ich von Herrn Dr. Die s tel in dankenswertber Weise unterstutzt worden. Gottingen, im Januar 1890. H. A. Schwarz. Inhaltsverzeichniss zum ersten Bande. Seite Ueber die Minimalflache, deren Begrenzung als ein von vier Kanten eines re gularen Tetraeders gebildetes raumliches Vierseit gegeben ist. (Im April 1865 von Herrn Ku m m e r der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin mitgetheilt. Monatsberichte der Koniglichen Akademie der W- senschaften zu Berlin, Jahrgang 1865, Seite 149-153.) . . . . . .. 1 Zu dieser Abhandlung gehoren die Figurentafeln 1, 2 und three. Bestimmung einer speciellen Minimalflache. (Eine von der Kouiglichen Akade mie der Wissenschaften zu Berlin am four. Juli 1867 gekronte Preisschrift. Nebst einem Nachtrage und einem Anhange.) 6 Erster Theil.. . . . . . . . . . . . eight Zweiter Theil. . . . . . . . . . . . 34 Ubergang zu den elliptischen Functionen. 50 Bestimmung einer speciellen Minimalflache. Nachtrag. ninety two Bestimmung einer speciellen Minimalflache. Anhang, enthaltend Anmerkungen und Zusatze. ....... ......... .... 109 Fortgesetzte Untersuchungen uber specielle Minimalflachen. (Im Januar 1872 von Herrn Ku m me r der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Be r I i n mitgetheilt. Monatsberichte der Koniglichen Akademie der Wissen schaften zu Berlin, Jahrgang 1872, Seite 3-27.). . . . . . . . . 126 . Zu dieser Abhandlung gehort die Figurentafel four .

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Entgegengekommen. Die diesem Bande beigegebenen vier lithographi schen Figurentafeln verpflichten mich zu besonderem Danke. Bei der Correctur der einzelnen Druckbogen dieses Bandes bin ich von Herrn Dr. Die s tel in dankenswertber Weise unterstutzt worden. Gottingen, im Januar 1890. H. A. Schwarz. Inhaltsverzeichniss zum ersten Bande. Seite Ueber die Minimalflache, deren Begrenzung als ein von vier Kanten eines re gularen Tetraeders gebildetes raumliches Vierseit gegeben ist. (Im April 1865 von Herrn Ku m m e r der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin mitgetheilt. Monatsberichte der Koniglichen Akademie der W- senschaften zu Berlin, Jahrgang 1865, Seite 149-153.) . . . . . .. 1 Zu dieser Abhandlung gehoren die Figurentafeln 1, 2 und three. Bestimmung einer speciellen Minimalflache. (Eine von der Kouiglichen Akade mie der Wissenschaften zu Berlin am four. Juli 1867 gekronte Preisschrift. Nebst einem Nachtrage und einem Anhange.) 6 Erster Theil.. . . . . . . . . . . . eight Zweiter Theil. . . . . . . . . . . . 34 Ubergang zu den elliptischen Functionen. 50 Bestimmung einer speciellen Minimalflache. Nachtrag. ninety two Bestimmung einer speciellen Minimalflache. Anhang, enthaltend Anmerkungen und Zusatze. ....... ......... .... 109 Fortgesetzte Untersuchungen uber specielle Minimalflachen. (Im Januar 1872 von Herrn Ku m me r der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Be r I i n mitgetheilt. Monatsberichte der Koniglichen Akademie der Wissen schaften zu Berlin, Jahrgang 1872, Seite 3-27.). . . . . . . . . 126 . Zu dieser Abhandlung gehort die Figurentafel four .

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Eine jede Integration auf einem beliebigen Wege kann zerlegt werden in eine geschlossene Integration, bei welcher die Endpunkte der Integrationswege wieder 8 = -a, 8 1 = -a sind, und in eine Integration, bei welcher die Integrationswege , welche sich auf die Variablen s", und 8~' beziehen, von 8 = -a, 81 = -a ausgehen und keinen der Querschnitte überschreiten. Hierbei muss jedoch ein einmaliges Umkreisen des Punktes - a gestattet werden, damit die Endpunkte 8"', 8~' der Integrationswege ebensowohl in dem unteren als in dem oberen Blatte der Ebene liegen können.

Di e F une t·IOn S , IS . t d·le F unet·Ion -,-s' - a1 ein particuEb ~ enso WIe s-a5 läres Integral der Differentialgleichung a1 • a5 -1, "'P(s, u) = T5-g. also auch von . "'P(s, v) = i-g· 16u2 (1-u 4Y' (1+ V 2)2 v2 (1_v 2 )2 , und zwar hat dieses Integral als Function von v genau die oben für das particuläre Integral (1 angegebene Entwickelung. Denn es ents'-at sprechen den beiden Kreisbogen ab, a d bei dem Integrale -, - s -a5 '29 Bestimmung einer specieIIen Minimalfläche. zwei vom Nullpunkte ausgehende ganz im Endlichen liegende geradlinige Strecken, während andrerseits das Integral 6 das einzige ist, dem diese Eigenschaft zukommt.

Die Differentialgleichung iJi'( s, v) = F CL') hat vi e I' singuläre Werthe des Arguments. Durch eine algebraische Transformation des Arguments (z. B. durch v 2 = t) kann jedoch die Anzahl der singulären Punkte auf d I' ei gebracht werden. Die Function s ergibt sich dann in Bezug auf die neue Variable als Quotient zweier Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche mit der bekannten Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe übereinstimmt. Unter allen VOll vier geraden Strecken gebildeten in Bezug auf eine Ebene symmetrischen räumlichen Vierseiten besitzen die grösste Symmetrie diejenigen, deren vier Seiten gleich lang und deren vier Winkel gleich gross sind.

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