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By Hans Kerner

Dieses Buch ist eine Darstellung des Mathematikstoffs f?r Physiker, die etwa einem vierst?ndigen Vorlesungsprogramm von vier Semestern entspricht. Das Buch umfa?t neben linearer Algebra , Funktionentheorie und klassischen Gebieten auch Distributionen, Anfangs- und Randwertprobleme f?r Differentialgleichungen und eine Einf?hrung in die Funktionalanalysis. Ein Ziel ist es, auch neuere Methoden der Mathematik, die in der Physik Eingang gefunden haben, vorzustellen. So werden der Kalk?l der Differentialformen und ihre Anwendungen, Distributionen, Fundamentall?sungen von Differentialgleichungen, Hilbert-R?ume und Operatoren hier behandelt. Zahlreiche Erl?uterungen, Beispiele sowie ?bungsaufgaben und ihre L?sungen unterst?tzen die Lekt?re und erg?nzen den textual content.

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Dieses Buch ist eine Darstellung des Mathematikstoffs f?r Physiker, die etwa einem vierst?ndigen Vorlesungsprogramm von vier Semestern entspricht. Das Buch umfa?t neben linearer Algebra , Funktionentheorie und klassischen Gebieten auch Distributionen, Anfangs- und Randwertprobleme f?r Differentialgleichungen und eine Einf?hrung in die Funktionalanalysis. Ein Ziel ist es, auch neuere Methoden der Mathematik, die in der Physik Eingang gefunden haben, vorzustellen. So werden der Kalk?l der Differentialformen und ihre Anwendungen, Distributionen, Fundamentall?sungen von Differentialgleichungen, Hilbert-R?ume und Operatoren hier behandelt. Zahlreiche Erl?uterungen, Beispiele sowie ?bungsaufgaben und ihre L?sungen unterst?tzen die Lekt?re und erg?nzen den textual content.

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2 f (ξ) = 0. 4 (1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Wenn f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar ist, dann existiert ein ξ ∈]a, b[ mit f (b) − f (a) = f (ξ). b−a a ξ b Beweis. Wir definieren h : [a, b] → R durch h(x) := f (x) − f (b) − f (a) · (x − a). b−a Dann ist h(a) = h(b) und die Voraussetzungen des Satzes von Rolle sind erf¨ullt. Daher existiert ein ξ ∈]a, b[ mit 0 = h (ξ) = f (ξ) − f (b) − f (a) b−a und daraus folgt die Behauptung. 5 (2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung).

Es ist |a1 | ≤ |a0 | · q, |a2 | ≤ |a1 | · q ≤ |a0 | · q 2 und |an+1 | ≤ |an | · q ≤ ... ≤ |a0 | · q n+1 . Daher ist |a0 | · ∞ q n eine konvergente Majorante zu n=0 ∞ an . n=0 Wir beweisen noch das Leibnizsche Konvergenzkriterium f¨ur alternierende Reihen (G OTTFRIED W ILHELM L EIBNIZ (1646-1716)) a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − . . 12 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Es sei (an )n eine monoton fallende Folge in R mit an ≥ 0 f¨ur alle n ∈ N0 und lim an = 0. Dann konvergiert n→∞ die Reihe ∞ (−1)n an n=0 und es gilt ∞ | k (−1)n an − n=0 (−1)n an | ≤ ak+1 .

Sind f : D → R und g : E → R differenzierbar und f (D) ⊂ E, so ist auch g ◦ f : D → R, x → g(f (x)), differenzierbar und es gilt (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) · f (x). Beweis. 3 gibt es Funktionen ϕ1 : D → R und ϕ2 : E → R , so dass f¨ur x ∈ D, y ∈ E gilt: f (x) = f (x0 ) + f (x0 ) · (x − x0 ) + (x − x0 ) · ϕ1 (x), g(y) = g(y0 ) + g (y0 ) · (y − y0 ) + (y − y0 ) · ϕ2 (y), Setzt man y := f (x), so ergibt die 1. Gleichung y − y0 = f (x0 ) · (x − x0 ) + (x − x0 )ϕ1 (x) lim ϕ1 (x) = 0, x→x0 lim ϕ2 (y) = 0.

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