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By Sokolichin A.

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines mathematischen Modells, das eine zutreffende und effiziente numerische Simulation von Gas-Flussigkeits-Reaktoren mit Blasenstromungen ermoglicht. Die Qualitat eines mathematischen Modells kann nur anhand detaillierter Vergleiche zwischen Simulation und scan erfolgen. Da ein mathematisches Modell aus einem procedure von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen besteht, die auf numerischenWege gelost werden, ist die Validierung des Modells nur dann moglich, wenn die Simulationsergebnisse nicht zu sehr durch numerische Fehler beeinflußt werden.

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Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines mathematischen Modells, das eine zutreffende und effiziente numerische Simulation von Gas-Flussigkeits-Reaktoren mit Blasenstromungen ermoglicht. Die Qualitat eines mathematischen Modells kann nur anhand detaillierter Vergleiche zwischen Simulation und scan erfolgen. Da ein mathematisches Modell aus einem procedure von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen besteht, die auf numerischenWege gelost werden, ist die Validierung des Modells nur dann moglich, wenn die Simulationsergebnisse nicht zu sehr durch numerische Fehler beeinflußt werden.

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Der Grund f¨ur diese Instabilit¨at liegt darin, daß dieses Verfahren wichtige Eigenschaften der Konvektionsgleichung verletzt. W¨ahrend sich die L¨osung der linearen Konvektionsgleichung mit der positiven Geschwindigkeit a entlang der x-Achse fortpflanzt, die Information also von links nach rechts propagiert“, wird bei der Downwind-Approximation f¨ur U i;1=2 der Wert der Gitterfunktion ” verwendet, der stromabw¨arts liegt. Man approximiert damit sozusagen gegen die Stromrichtung. 1 veranschaulichen, und dabei gleichzeitig die etwas vage Aussage u¨ ber die Fehlapproximation verdeutlichen.

In beiden F¨allen wird der L¨osungsstreifen durch die Anfangsstrecke X1 X2 ]= 0 2] definiert und wir nehmen an, daß die Konvektionsgeschwindigkeit a gleich 1 ist. 1. Im ersten Testbeispiel wird eine stetig differenzierbare L¨osung dargestellt. 33) : 1 wenn x0 < x betrachtet werden. 8 2 x . 3: Heavyside’sche Sprungfunktion sowie ihre Approximation durch das Wahrscheinlichkeitsintegral f¨ur = 0:1 und = 0:02. 3 sind die Heavyside’sche Sprungfunktion f¨ur x0 N (x x0 ) f¨ur 2 unterschiedliche -Werte dargestellt.

47) x x t tn xi;1=2 t Anschließend werden die einzelnen Terme durch die Werte fU:n g und fU:n+1 g approximiert. Wir behandeln die beiden Summanden des zu integrierenden Ausdrucks separat. 3: FINITE-VOLUMEN-FORMULIERUNG 8 xi+1=2 9 xiZ+1=2 > > Z < = = 1t > 1x u(x tn+1)dx ; 1x u(x tn)dx> : xi;1=2 xi;1=2 Nun wird angenommen, daß bei kleinen Werten von x die Funktionen u(: tn) und u(: tn+1) im Intervall xi;1=2 xi+1=2] durch den Funktionswert in der Mitte des Intervalls hinreichend genau approximiert werden.

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