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By Dieter Jungnickel

Das vorliegende Buch ist eine Einführung in die Grundlagen der mathematischen Optimierung, die sich dadurch auszeichnet, dass diskrete und kontinuierliche Methoden integriert behandelt werden. Es wendet sich an Studenten der Mathematik, der Wirtschaftswissenschaften und der Informatik, die beginnen, etwas über Optimierung zu lernen. In der Neuauflage sind ein ausführliches Kapitel über lineare Programme sowie ein Kapitel über allgemeine Konvergenzsätze und ein Anhang zur affinen Geometrie hinzugekommen. Im Übrigen wurde der bereits vorliegende textual content gründlich überarbeitet: Neben der Korrektur etlicher Druckfehler und kleinerer Ungenauigkeiten wurden einige Beweise völlig umgeschrieben und mehr motivierende Bemerkungen sowie weitere Beispiele eingefügt. Insgesamt hat sich damit der Umfang des Buches etwa verdoppelt.


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Das vorliegende Buch ist eine Einführung in die Grundlagen der mathematischen Optimierung, die sich dadurch auszeichnet, dass diskrete und kontinuierliche Methoden integriert behandelt werden. Es wendet sich an Studenten der Mathematik, der Wirtschaftswissenschaften und der Informatik, die beginnen, etwas über Optimierung zu lernen. In der Neuauflage sind ein ausführliches Kapitel über lineare Programme sowie ein Kapitel über allgemeine Konvergenzsätze und ein Anhang zur affinen Geometrie hinzugekommen. Im Übrigen wurde der bereits vorliegende textual content gründlich überarbeitet: Neben der Korrektur etlicher Druckfehler und kleinerer Ungenauigkeiten wurden einige Beweise völlig umgeschrieben und mehr motivierende Bemerkungen sowie weitere Beispiele eingefügt. Insgesamt hat sich damit der Umfang des Buches etwa verdoppelt.


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Eine Abbildung ist also genau dann zweimal differenzierbar in x, wenn sie dort quadratisch approximierbar ist. Wie aus der Analysis bekannt, ist dann der (i, j)-Eintrag der Hesse-Matrix Hf (x) durch ∂2f ∂xi ∂xj (x) gegeben. 11 (Notwendige Bedingungen zweiter Ordnung). Es sei f : Rn → R eine in x zweimal differenzierbare Abbildung. Falls x ein lokales Minimum f¨ ur f ist, muß ∇f (x) = 0 gelten und Hf (x) positiv semidefinit sein. Beweis. Sei d ∈ Rn beliebig. Die zweimalige Differenzierbarkeit ergibt f (x + λd) = f (x) + λ∇f (x)d + 12 λ2 dT Hf (x)d + λ2 d 2 β(x; λd) mit β(x; λd) → 0 f¨ ur λ → 0.

Also hat (II) keine L¨osung. Umgekehrt habe nun System (I) keine L¨ osung. Wir setzen S := {y ∈ Rm : Ax = y f¨ ur ein x ≥ 0} . Nach Voraussetzung gilt also b ∈ / S. 6 einen Vektor c ∈ Rm und einen Skalar α mit ur alle y ∈ S. Offenbar gilt 0 ∈ S, weswegen α ≥ 0 und cT b > α ≥ cT y f¨ ur alle x ≥ 0 die Bedingung somit bT c = cT b > 0 folgt. Wir haben also f¨ α ≥ cT y = cT Ax = xT (AT c). Da die Komponenten von xT beliebig groß gew¨ahlt werden k¨onnen, folgt darosung des Systems (II). aus sofort AT c ≤ 0.

Ankt ist, so ist auch conv S beschr¨ ankt. 4. Wenn S ⊆ Rn beschr¨ Wenn S kompakt ist, ist auch conv S kompakt. Insbesondere gilt f¨ ur beschr¨ ankte Mengen conv S = conv S. Die oben eingef¨ uhrten u ¨blichen topologischen Begriffe sind nicht v¨ollig befriedigend, da sie von der Einbettung der betrachteten Punktemenge S in angen; zumindest f¨ ur die Zwecke der Optimierung ist einen Raum Rn abh¨ das oft nicht angebracht. 1 ein leeres Inneres; wenn wir H aber nicht als im Rn eingebettet urde betrachten, sondern als den n − 1-dimensionalen Raum Rn−1 auffassen, w¨ nat¨ urlich int H = H gelten.

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