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By Thomas Rießinger

In diesem ?bungsbuch werden etwa one hundred sixty Aufgaben zur Ingenieurmathematik im element durchgerechnet und erkl?rt. Im Gegensatz zu vielen anderen ?bungsb?chern zur Mathematik zeigt der Autor seinen Lesern, wie solche Aufgaben vom ersten Ansatz bis zum Ergebnis zu l?sen sind. Der Hauptteil der ?bungen bezieht sich auf die im Lehrbuch „Mathematik f?r Ingenieure" desselben Autors angegebenen Aufgaben.

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By Thomas Rießinger

In diesem ?bungsbuch werden etwa one hundred sixty Aufgaben zur Ingenieurmathematik im element durchgerechnet und erkl?rt. Im Gegensatz zu vielen anderen ?bungsb?chern zur Mathematik zeigt der Autor seinen Lesern, wie solche Aufgaben vom ersten Ansatz bis zum Ergebnis zu l?sen sind. Der Hauptteil der ?bungen bezieht sich auf die im Lehrbuch „Mathematik f?r Ingenieure" desselben Autors angegebenen Aufgaben.

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Berechnen Sie die Eckpunkte und den Flacheninhalt des Parallelogramms. 8. 8: der Vektor r zeigt auf den Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 1), und davon ausgehend spannen die Vektoren a und b das Parallelogramm auf. Die Eckpunkte des Parallelogramms haben daher die folgenden Ortsvektoren: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 2 ~ = r = ⎝ 1 ⎠ ; 0B ~ = r + a = ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 3 ⎠; 0A 1 1 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 0 ~ = r + b = ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ und 0C 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ~ = r + a + b = ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 2 ⎠ + ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 3 ⎠: 0D 1 3 2 6 Sobald man die Ortsvektoren kennt, hat man aber auch die Koordinaten der Eckpunkte.

Das ergibt die neue Matrix: ⎛ ⎞ 0 1 3 0 1 ⎝ 1 3 7 1 3 ⎠: 2 2 2 2 2 Nach der Sarrusregel gilt dann: ⎛ ⎞ 0 1 3 det ⎝ 1 3 7 ⎠ = 0 ( 3) 2 + 1 ( 7) 2 + 3 1 2 2 2 2 (3 ( 3) 2 + 0 ( 7) 2 + 1 1 2) = 8 ( 16) = 8 6= 0: Da die Determinante also von Null verschieden ist, konnen die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen. 12 Wie mu man x 2 R wahlen, damit die drei Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 x 1 ⎝ 1 ⎠ ; ⎝ 1 ⎠ und ⎝ 3 ⎠ 0 1 1 in einer Ebene liegen? 11. Wahrend dort einfach drei konkrete Vektoren gegeben waren, bei denen man testen mu te, ob sie in einer Ebene liegen, taucht hier im zweiten Vektor noch die Variable x auf, ein sogenannter Parameter, und je nachdem, welchen Wert x annimmt, werden die drei Vektoren in einer Ebene liegen oder nicht.

Sie lautet: 41 ⎛ ⎞ 0 1 3 ⎝ 1 3 7 ⎠: 2 2 2 Jetzt fuge ich wieder die ersten beiden Spalten als vierte und funfte Spalte am Ende hinzu. Das ergibt die neue Matrix: ⎛ ⎞ 0 1 3 0 1 ⎝ 1 3 7 1 3 ⎠: 2 2 2 2 2 Nach der Sarrusregel gilt dann: ⎛ ⎞ 0 1 3 det ⎝ 1 3 7 ⎠ = 0 ( 3) 2 + 1 ( 7) 2 + 3 1 2 2 2 2 (3 ( 3) 2 + 0 ( 7) 2 + 1 1 2) = 8 ( 16) = 8 6= 0: Da die Determinante also von Null verschieden ist, konnen die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen. 12 Wie mu man x 2 R wahlen, damit die drei Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 x 1 ⎝ 1 ⎠ ; ⎝ 1 ⎠ und ⎝ 3 ⎠ 0 1 1 in einer Ebene liegen?

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